Análise Fatorial

Análise Fatorial

• Objetivo: Descrever as relações de covariância entre muitas variáveis em termos de poucas quantidades aleatórias subjacentes e não observáveis

Análise Fatorial

Vamos supor cinco variáveis \(Y_1\), \(Y_2\), \(Y_3\), \(Y_4\) e \(Y_5\) correspondentes às notas de estudantes em Espanhol, Inglês, Química, Física e Matemática, respectivamente.

Análise Fatorial

Com base nas correlações, poderíamos imaginar dois fatores subjacentes, e não observáveis:

• Fator 1: Conhecimento em línguas - associado aos desempenhos em Espanhol e Inglês, fortemente correlacionados;

Análise Fatorial

Pode ser considerada uma extensão da Análise de Componentes Principais

Tipos de Análise Fatorial

Análise Fatorial Exploratória

• Busca encontrar os fatores subjacentes às variáveis originais amostradas

• Em geral, efetuada quando não se tem noção clara da quantidade de fatores do modelo e nem do que representam

Análise Fatorial Confirmatória

• Tem-se em mãos um modelo fatorial pré-especificado (modelo hipotético) e deseja-se verificar se é aplicável ou consistente com os dados amostrais de que dispõe

Planejamento de uma análise fatorial

• Verificar a adequabilidade da base de dados: tamanho da amostra (desejável a razão de 5 indivíduos para cada variável), correlações significativas, KMO adequado.

Planejamento de uma análise fatorial

GIGO: Garbage In, Garbage Out!

Planejamento de uma análise fatorial

Questões conceituais…

• É responsabilidade do pesquisador garantir que os padrões observados sejam conceitualmente válidos. A AF é capaz somente de determinar a adequação das correlações entre variáveis.

• O pesquisador deve garantir que a amostra esteja adequada à estrutura fatorial inerente.

• Por exemplo, ao avaliar os fatores de risco de uma acidente vascular, se nenhuma variável relacionada aos fatores genéticos for incluída, a AF não será capaz de identificar esta dimensão.

Planejamento de uma análise fatorial

Questões conceituais…

• A qualidade e o significado dos fatores obtidos refletem as bases conceituais das variáveis incluídas na análise.

• O pesquisador não deve incluir indiscriminadamente inúmeras variáveis e esperar que a AF “arrume as coisas”.

• No exemplo da avaliação dos fatores de risco de uma acidente vascular, incluir a variável, por exemplo, “cor dos olhos” interfere nos resultados da AF e não traz nenhuma informação relevante para o objeto de estudo.

Planejamento de uma análise fatorial

Questões estatísticas…

• Espera-se que haja correlações significativas, pois o objetivo é identificar conjuntos de variáveis inter-relacionadas.

• Se todas as correlações são pequenas ou iguais, o pesquisador deve questionar o uso da análise fatorial.

• Inspeção visual da matriz de correlação – coeficientes pelo menos em torno de 0,30.

Planejamento de uma análise fatorial

• Teste de esfericidade de Bartlett (BTS): O teste de esfericidade de Bartlett testa a hipótese de que as variáveis não sejam correlacionadas na população.

\[H_0: \boldsymbol{P} = \boldsymbol{I}\]

A estatística do teste é dada por

\[\chi^2 = -\left[ (n-1)-\dfrac{2p + 5}{6}\right] \ln|\boldsymbol{R}|\]

que tem uma distribuição qui-quadrado com \(\nu\) graus de liberdade, sendo \(\nu = \dfrac{p(p-1)}{2}\), \(n\) igual ao tamanho da amostra, \(p\) igual ao número de variáveis e \(|\boldsymbol{R}|\), o determinante da matriz de correlação amostral.

Planejamento de uma análise fatorial

• Medida de adequação da amostra: comumente utilizado o KMO (Kaiser-Meyer-Olkin). Rencher(2002) sugere que para um modelo de Análise Fatorial possa ser ajustado adequadamente aos dados é necessário que \(\boldsymbol{R}^{-1}\) seja próxima da matriz diagonal. O coeficiente KMO baseia-se nesse princípio

\[KMO = \dfrac{\displaystyle{\sum_{i=1}^p}\displaystyle{\sum_{j=1}^p} r^2_{ij}}{\displaystyle{\sum_{i=1}^p}\displaystyle{\sum_{j=1}^p} r_{ij}^2 + \displaystyle{\sum_{i=1}^p}\displaystyle{\sum_{j=1}^p}v_{ij}^2},\]

Planejamento de uma análise fatorial

em que \(r_{ij}\) e \(v_{ij}\) são, respectivamente, os elementos na posição \((i,j)\) da matriz de correlações amostral, \(\boldsymbol{R}\), e da matriz \(\boldsymbol{V} = \boldsymbol{U} \boldsymbol{R}^{-1} \boldsymbol{U}\), na qual \(\boldsymbol{U} = \left[{\rm diag} (\boldsymbol{R}^{-1})^{\frac{1}{2}}\right]^{-1}\). Note que \({\rm diag}(\boldsymbol{R}^{-1})\) é a matriz cuja diagonal coincide com a diagonal de \(\boldsymbol{R}^{-1}\) mas com os demais elementos nulos e \({\rm diag}(\boldsymbol{R}^{-1})^{\frac{1}{2}}\) é a matriz diagonal cujo \(i\)-ésimo elemento diagonal é a raiz quadrada do \(i\)-ésimo elemento diagonal de \({\rm diag}(\boldsymbol{R}^{-1})\). A matriz \(\boldsymbol{V}\) é usualmente designada por matriz de correlação anti-imagem.

Planejamento de uma análise fatorial

• Medida de adequação da amostra: Para cada variável: MSA (Measure of sampling adequacy). Essa medida é bastante similar ao \(KMO\). Novamente, desejamos verificar a possibilidade de existência de uma estrutura fatorial nos dados. A \(MSA\) deve ser calculada separadamente para cada variável, através de

\[MSA_i = \dfrac{\displaystyle{\sum_{j=1}^p} r^2_{ij}}{\displaystyle{\sum_{j=1}^p} r_{ij}^2 + \displaystyle{\sum_{j=1}^p}v_{ij}^2}.\]

Planejamento de uma análise fatorial

• O objetivo é verificar se uma dada variável pode ser explicada pelas demais, o que é esperado em um modelo fatorial.

Planejamento de uma análise fatorial

Ambos variam de 0 a 1, sendo:

O modelo fatorial ortogonal via matriz de correlações

• Seja o vetor aleatório \(\mathbf{x} = [X_1, X_2, \cdots, X_p]^t\), com vetor de médias \(\boldsymbol{\mu}\), matriz de covariâncias \(\boldsymbol{\Sigma}\) e matriz de correlações \(\boldsymbol{P}\).

O modelo fatorial ortogonal via matriz de correlações

• Modelo fatorial ortogonal
  • Construído via a matriz de correlação populacional
  • Relaciona linearmente as variáveis padronizadas e os \(m\) fatores comuns (que são desconhecidos)
  • Fatores são variáveis independentes

O modelo fatorial ortogonal via matriz de correlações

Na análise fatorial, vamos expressar cada uma das \(p\) variáveis padronizadas como combinação linear de \(m < p\) fatores comuns \(F_1, F_2, \cdots, F_m\) a menos de um termo correspondente ao erro \(\epsilon_1, \epsilon_2, \cdots, \epsilon_p\):

\[ \begin{aligned} Z_1 &= l_{11}F_1 + l_{12}F_2 + \cdots + l_{1m}F_m + \epsilon_1 \\ Z_2 &= l_{21}F_1 + l_{22}F_2 + \cdots + l_{2m}F_m + \epsilon_2 \\ && \hspace{-25cm} \vdots \\ Z_p &= l_{p1}F_1 + l_{p2}F_2 + \cdots + l_{pm}F_m + \epsilon_p \end{aligned} \]

O modelo fatorial ortogonal

• \(F_1, F_2, \cdots, F_m\) são os fatores comuns não observáveis, ou (latentes);

• \(\epsilon_1, \epsilon_2, \cdots,\epsilon_p\) são os fatores específicos associados a cada variável e,

• \(l_{ij}\), \(i = 1, 2, \cdots,p\), \(j = 1, 2, \cdots, m\) são chamados de cargas fatoriais, ou (loadings).

O modelo fatorial ortogonal

Notação Matricial

\[\boxed{\boldsymbol{D}^{-1}(\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) = \boldsymbol{L} \boldsymbol{F} + \boldsymbol{\epsilon}}\]

\[\boldsymbol{F} = \left[\begin{array}{c} F_1 \\ F_2 \\ \vdots \\ F_m \end{array} \right] \boldsymbol{\epsilon} = \left[\begin{array}{c} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \vdots \\ \epsilon_p \end{array}\right] \boldsymbol{L} = \left[ \begin{array}{cccc} l_{11} & l_{12} & \cdots & l_{1m} \\ l_{21} & l_{22} & \cdots & l_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ l_{p1} & l_{p2} & \cdots & l_{pm} \end{array} \right] \,\,\, \boldsymbol{D} = \left[ \begin{array}{cccc} \sigma_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sigma_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \sigma_{p} \end{array} \right]\]

O modelo fatorial ortogonal

Suposições do modelo

Para construção do modelo fatorial ortogonal, algumas suposições se fazem necessárias:

1. Os fatores têm média igual a zero, variâncias iguais a 1 e não são correlacionados:

\[\boxed{E({\boldsymbol{F}}) = \boldsymbol{0}\,\, \text{e} \,\, \rm{Var}({\boldsymbol{F}}) = E({\boldsymbol{F}}{\boldsymbol{F}}^t) = \boldsymbol{I} }\]

O modelo fatorial ortogonal

Suposições do modelo

2. Os erros têm média zero, são não correlacionados e não necessariamente tem a mesma variância:

\[\boxed{E({\boldsymbol{\epsilon}}) = \boldsymbol{0} e \rm{Var}({\boldsymbol{\epsilon}}) = \boldsymbol{\Psi} = \rm{diag}(\psi_1, \psi_2, \cdots, \psi_p) = E({\boldsymbol{\epsilon}}{\boldsymbol{\epsilon}}^t) }\]

3. \({\boldsymbol{F}}\) e \({\boldsymbol{\epsilon}}\) são independentes, isto é, fontes de variação distintas:

\[\boxed{\rm{Cov}({\boldsymbol{F}},{\boldsymbol{\epsilon}}) = E({\boldsymbol{\epsilon}}{\boldsymbol{F}}^t) = \boldsymbol{0}}\]

Propriedades do modelo fatorial

Como consequência da definição do modelo e das suposições apresentadas, decorrem as seguintes propriedades:

\[\boldsymbol{P} = \boldsymbol{L}\boldsymbol{L}^t + \boldsymbol{\Psi}\]

Propriedades do modelo fatorial

• \(h_i^2\) é a comunalidade: variância comum de \(\boldsymbol{z}\) - expressa o quanto da variabiliade de \(Z_i\) é explicada pelo modelo

• \(\psi_i\) é a especificidade: variância específica de cada \(Z_i\) - expressa o quanto da variabilidade de \(Z_i\) não é explicada pelo modelo.

Métodos de Estimação

• Método das componentes principais: baseia-se na análise de componentes principais. Em geral, utilizado como um análise exploratória dos dados, em termos dos fatores subjacentes

Métodos de estimação: Componentes Principais

Considerando \(m < p\) o número de fatores comuns, a matriz de cargas fatoriais, estimada pelo método dos componentes principais, fica dada por:

\[ \begin{aligned} \hat{\boldsymbol{L}} &= \left[\begin{array}{cccc} \sqrt{\hat{\lambda}}_1 \hat{\boldsymbol{e}}_1 & \sqrt{\hat{\lambda}}_2 \hat{\boldsymbol{e}}_2 & \cdots & \sqrt{\hat{\lambda}}_m \hat{\boldsymbol{e}}_m \end{array}\right] \end{aligned} \]

Métodos de estimação: Componentes Principais

Matriz residual:

\[\boldsymbol{MRes} = \boldsymbol{R} - (\hat{\boldsymbol{L}} \hat{\boldsymbol{L}}^t + \hat{\boldsymbol{\Psi}})\]

Métodos de estimação: Componentes Principais

Proporção da variabilidade total explicada pelo fator

\[\text{Proporção explicada}_{F_j} = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^p l_{ij}^2}{p}\]

Métodos de estimação: Fatores Principais

• Também chamado Método de Componentes Principais Iterativo

Métodos de estimação: Máxima Verossimilhança

Só pode ser utilizado quando a forma da distribuição de probabilidades é conhecida

• Suposição:
  • Vetor aleatório \(\boldsymbol{z}\) tem distribuição normal \(p\)-variada

Métodos de estimação: Máxima Verossimilhança

A função de verossimilhança considerando uma amostra aleatória de tamanho \(n\) observada no vetor aleatório \(\boldsymbol{z}\) é dada por:

\[ \boldsymbol{L}(\boldsymbol{0},\boldsymbol{P}) = \displaystyle \frac{1}{(2\pi)^{\frac{np}{2}} |(\boldsymbol{L} \boldsymbol{L}^t + \boldsymbol{\Psi})|^{\frac{n}{2}}} \exp \left\{-\frac{1}{2} \displaystyle \sum_{j=1}^n \boldsymbol{z}_j^t (\boldsymbol{L}\boldsymbol{L}^t + \boldsymbol{\Psi})^{-1} \boldsymbol{z}_j \right\} \]

Métodos de estimação: Máxima Verossimilhança

• Os estimadores de máxima verossimilhança de \(\boldsymbol{L}\) e \(\boldsymbol{\Psi}\) são as matrizes \(\hat{\boldsymbol{L}}\) e \(\hat{\boldsymbol{\Psi}}\) que maximizam a função de verossimilhança \(\boldsymbol{L}(\boldsymbol{0},\boldsymbol{P})\).

Métodos de estimação: Máxima Verossimilhança

Rotação dos fatores

Uma propriedade importante do modelo fatorial ortogonal é a falta de unicidade das cargas fatoriais: se \(\boldsymbol{L}\) satisfaz à relação \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{L}\boldsymbol{L}^t + \boldsymbol{\Psi}\), então \(\boldsymbol{L}^* = \boldsymbol{L} \boldsymbol{T}\), tal que \(\boldsymbol{T} \boldsymbol{T}^t = \boldsymbol{T}^t\boldsymbol{T} = \boldsymbol{I}\) (\(\boldsymbol{T}\) ortogonal), também satisfaz:

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{L}^* \boldsymbol{L}^{*t} + \boldsymbol{\Psi} &= (\boldsymbol{L} \boldsymbol{T})(\boldsymbol{L} \boldsymbol{T})^t + \boldsymbol{\Psi} = \boldsymbol{L} \boldsymbol{T}\boldsymbol{T}^t \boldsymbol{L}^t + \boldsymbol{\Psi} \\ &= \boldsymbol{L} \boldsymbol{I} \boldsymbol{L}^t + \boldsymbol{\Psi} = \boldsymbol{L}\boldsymbol{L}^t + \boldsymbol{\Psi } = \boldsymbol{P} \end{aligned} \]

Rotação dos fatores

Comentários

• Uma vez extraídos os fatores, temos a chamada matriz de cargas fatoriais. Nesta matriz, cada elemento indica o grau de correspondência entre a variável e o fator;

• Com a rotação, busca-se uma estrutura mais simples: loadings originais podem não ter fácil interpretação

• Ideal: encontrar um padrão de loadings tais que cada variável carregue-se fortemente em um único fator (com loadings moderados nos outros fatores)

• Nem sempre é possível obter esta estrutura mais simples

Rotação dos fatores

Ao rotacionar a matriz fatorial, busca-se redistribuir a variância dos primeiros fatores para os últimos, a fim de atingir um padrão fatorial mais simples e teoricamente mais significativo.

Rotação dos fatores

\[\text{ 2 agrupamentos: As cargas fatoriais, contudo, não parecem tão óbvias}\]

Rotação dos fatores

\[\text{Rotação Ortogonal}\]

Rotação dos fatores

• Os métodos de rotação têm como objetivo simplificar as linhas e colunas da matriz fatorial para facilitar a interpretação
  • Maximizar a carga de uma variável em um único fator
  • Reduzir ao máximo o número de variáveis com cargas altas por fator

Rotação dos fatores

• Critério Varimax: É um dos mais utilizados. Em geral, produz soluções mais simples

Rotação dos fatores

Comentários

• Qualidade de ajuste: A rotação não acrescenta nenhuma melhoria em relação ao ajuste original
  • Matriz residual original não é alterada pela transformação ortogonal
  • Valores estimados de comunalidade e variâncias específicas permanecem inalterados

• Interpretação: Novos fatores podem ser de mais fácil interpretação

• Quando a solução sem rotação já é de boa qualidade, não se recomenda rotação: Solução rotacionada pode ser pior

Quantos fatores usar?

Para determinar o valor de \(m\)…

• Analisar a proporção da variação total dos dados atribuída ao \(j\)-ésimo fator, dada por:

\[\dfrac{\hat{\lambda}_j}{p}, \,\,\,\, j = 1,2, \cdots, m, \text{ se usarmos } \boldsymbol{R}\]

Quantos fatores usar?

• Conjugar indicadores estatísticos a:
  • Interpretação prática dos resultados;
  • Busca de uma solução parcimoniosa;
  • Possível indicação do número de fatores segundo a teoria da área;

Quantos fatores usar?

Comentários

• Método de máxima verossimilhança: Mudança de valor de \(m\) altera as estimativas dos loadings

• Método de componentes principais: Aumento no valor de \(m\) não altera os loadings para os fatores obtidos anteriormente

• Quando os dados provêm de distribuição normal multivariada
  • Usar método de componentes principais como análise exploratória dos fatores e estimação do valor provável de \(m\)
  • Posteriormente, qualidade da solução inicial poderá ser melhorada pelo uso do método de máxima verossimilhança

Interpretação dos fatores

\[\text{Avaliação da significância estatística baseada no tamanho da amostra}\]

Interpretação dos fatores

\[\text{Interpretação de uma matriz de cargas fatoriais em 5 passos}\]

Interpretação dos fatores

\[\text{Algumas situações podem ser encontradas}\]

\[\textbf{A variável tem carga cruzada}\]

Interpretação dos fatores

\[\text{Algumas situações podem ser encontradas}\]

\[\textbf{A variável não possui cargas significantes}\]

Interpretação dos fatores

\[\text{Algumas situações podem ser encontradas}\]

\[\textbf{Mesmo com cargas significantes, a comunalidade é baixa}\]

Interpretação dos fatores

\[\text{Alternativas}\]

• Ignorar as variáveis problemáticas e interpretar a solução fatorial como ela é, observando que as variáveis em questão são pobremente representadas na solução fatorial;

Comentários finais sobre análise fatorial

• Matriz de resíduos: A observação da matriz de resíduos muitas vezes, pode indicar quando o número de fatores está superdimensionado
  • Ex.: Se \(m\) não for muito pequeno e a matriz de resíduos estiver próxima de zero, recomenda-se testar outras soluções para \(m\) menores que o valor já especificado

Usos adicionais dos resultados da AFE

\[\textbf{Como posso usar os resultados de uma AFE em análises subsequentes?}\]

• Seleção de variáveis substitutas para análise subseqüente
  • É selecionada a variável com maior carga no fator para atuar como variável substituta representativa (deve considerar o conhecimento que o pesquisador tem da teoria).

Escores fatoriais

• Método dos Mínimos Quadrados Ponderados:

\[\hat{\boldsymbol{f}} = ( \hat{\boldsymbol{L}}^t \hat{\boldsymbol{\Psi}}^{-1} \hat{\boldsymbol{L}})^{-1} \hat{\boldsymbol{L}}^t \hat{\boldsymbol{\Psi}}^{-1} \boldsymbol{z}\]

Contexto: empresa Telco

• Operadora de telefonia móvel em cidade do interior
• Pesquisa de satisfação com os clientes após um ano de operação
• Questionário com 10 itens (P1–P10) em escala de 0 a 10

Contexto: empresa Telco

Os itens avaliam, por exemplo:

• Intensidade do sinal
• Qualidade do serviço e das informações
• Justiça nas tarifas
• Distribuição geográfica do sinal
• Plano de serviços
• Desconfiança em relação à empresa
• Tecnologia, atenção e atendimento

Itens e variáveis

Vamos representar os 10 itens por variáveis \(X_1, \ldots, X_{10}\):

• \(X_1\): intensidade do sinal
• \(X_2\): distribuição geográfica do sinal
• \(X_3\): tecnologia adotada
• \(X_4\): atendimento como um todo
• \(X_5\): injustiça nas tarifas
• \(X_6\): plano de serviços
• \(X_7\): qualidade das informações
• \(X_8\): serviço prestado ao cliente
• \(X_9\): atenção dedicada ao cliente
• \(X_{10}\): atendimento especificamente ao cliente

Objetivo da análise

Objetivo: identificar dimensões latentes da qualidade percebida.

# Instale o pacote pacman primeiro, se ainda não o tiver
if (!requireNamespace("pacman", quietly = TRUE)) {
  install.packages("pacman")
}

# Use p_load para instalar e carregar pacotes
pacman::p_load(tidyverse, psych, GPArotation, ggcorrplot, janitor, corrr, igraph, ggraph, ggrepel)

Lendo os dados Telco

path <- "https://raw.githubusercontent.com/tiagomartin/est014/refs/heads/master/dados/telco.csv"
telco <- read_csv(path, show_col_types = FALSE) %>%
  clean_names() 

glimpse(telco)

Rows: 875
Columns: 10
$ x1  <dbl> 2.021634, 2.634654, 2.161853, 2.611833, 2.296529, 2.265094, 2.7789…
$ x2  <dbl> 3.417002, 4.989637, 4.369748, 5.058855, 2.652786, 4.401388, 5.0625…
$ x3  <dbl> 3.203575, 3.548522, 3.423754, 3.438870, 3.394790, 3.446864, 3.4617…
$ x4  <dbl> 4.674381, 5.167249, 5.076795, 5.145240, 4.935702, 4.960152, 5.0267…
$ x5  <dbl> 7.845196, 7.527241, 7.432190, 7.381899, 7.572431, 7.401869, 7.3539…
$ x6  <dbl> 4.474652, 5.155799, 4.955571, 5.005566, 4.857968, 4.987190, 5.0357…
$ x7  <dbl> 1.652540, 2.303569, 3.000841, 3.084402, 2.834656, 4.363538, 4.4467…
$ x8  <dbl> 3.192175, 3.652853, 4.442697, 4.541976, 4.221692, 4.371027, 4.4521…
$ x9  <dbl> 7.092796, 7.518412, 6.690318, 6.761366, 6.098145, 6.766362, 6.8473…
$ x10 <dbl> 2.882242, 3.046624, 3.350822, 3.388591, 3.197836, 3.273597, 3.3047…

dim(telco)

[1] 875  10

Matriz de correlação

R <- cor(telco, use = "pairwise.complete.obs")
R

               x1            x2            x3            x4            x5
x1   1.0000000000  0.4781493696  0.7589493789 -2.140846e-03  0.0053772224
x2   0.4781493696  1.0000000000  0.5673144741 -6.145747e-03  0.0072963197
x3   0.7589493789  0.5673144741  1.0000000000 -5.368382e-04  0.0047779539
x4  -0.0021408464 -0.0061457470 -0.0005368382  1.000000e+00 -0.5773156240
x5   0.0053772224  0.0072963197  0.0047779539 -5.773156e-01  1.0000000000
x6   0.5414366524  0.4011884586  0.6425555030  7.028403e-01 -0.4256035677
x7   0.0014174056 -0.0011068157  0.0020693251  5.251678e-01 -0.3252902914
x8   0.0075964582  0.0028010661  0.0011511906  7.496806e-03 -0.0041722500
x9   0.0001745702  0.0013298066  0.0008497782 -3.530898e-03 -0.0026125521
x10  0.0067917792  0.0001410227  0.0044244904  3.148538e-05  0.0004600118
              x6            x7           x8            x9           x10
x1   0.541436652  0.0014174056  0.007596458  0.0001745702  6.791779e-03
x2   0.401188459 -0.0011068157  0.002801066  0.0013298066  1.410227e-04
x3   0.642555503  0.0020693251  0.001151191  0.0008497782  4.424490e-03
x4   0.702840339  0.5251677868  0.007496806 -0.0035308985  3.148538e-05
x5  -0.425603568 -0.3252902914 -0.004172250 -0.0026125521  4.600118e-04
x6   1.000000000  0.3942750794  0.008252132 -0.0023037351  3.223454e-03
x7   0.394275079  1.0000000000  0.004857482 -0.0009232318  1.151786e-03
x8   0.008252132  0.0048574820  1.000000000 -0.7925700049  5.324280e-01
x9  -0.002303735 -0.0009232318 -0.792570005  1.0000000000 -4.301518e-01
x10  0.003223454  0.0011517859  0.532427996 -0.4301518161  1.000000e+00

Visualização da matriz de correlação

ggcorrplot(
R,
type = "full",
lab = TRUE,
title = "Matriz de correlação – Itens Telco"
)

# Blocos de correlações altas sugerem possíveis fatores latentes

Visualização da matriz de correlação

## Variaveis aparentam se agrupar em tres grupos
tidy_cors <- telco %>% correlate() %>% stretch()
graph_cors <- tidy_cors %>%  filter(abs(r) > .3) %>% graph_from_data_frame(directed = FALSE)
ggraph(graph_cors, layout = "stress") +
  geom_edge_link(alpha = 0.5) +
  geom_node_point(size = 4) +
  geom_node_text(aes(label = name), repel = TRUE, size = 5) +
  theme_minimal()

Medidas de adequação à AFE

KMO – Kaiser-Meyer-Olkin

KMO(R)

Kaiser-Meyer-Olkin factor adequacy
Call: KMO(r = R)
Overall MSA =  0.63
MSA for each item = 
  x1   x2   x3   x4   x5   x6   x7   x8   x9  x10 
0.85 0.93 0.56 0.46 0.93 0.55 0.94 0.58 0.60 0.79 

• KMO geral > 0,60 → dados adequados para AFE
• MSA de \(X_4 < 0,5\) → apresenta adequabilidade insuficiente, podendo ser retirada da analise

Medidas de adequação à AFE

Teste de esfericidade de Bartlett

cortest.bartlett(R, n = nrow(telco))

$chisq
[1] 5049.455

$p.value
[1] 0

$df
[1] 45

• p-valor de Bartlett < 0,05 → correlações não são nulas

Escolha do número de fatores: Parallel Analysis

set.seed(123)

fa.parallel(
telco,
fm = "ml",
fa = "fa",
main = "Parallel Analysis – Caso Telco"
)

Parallel analysis suggests that the number of factors =  3  and the number of components =  NA 

Escolha do número de fatores: Parallel Analysis

• Comparamos autovalores observados com autovalores obtidos ao acaso.

• Mantemos os fatores com autovalores acima da linha simulada.

n_fatores <- 3

Ajuste da AFE

fa_telco <- factanal(
  x        = telco,
  factors  = n_fatores,
  rotation = "none",
  scores   = "none"
)

print(fa_telco, digits = 3, cut = 0.30) # n = 875: cargas acima de 0,30 sao significativas

Call:
factanal(x = telco, factors = n_fatores, scores = "none", rotation = "none")

Uniquenesses:
   x1    x2    x3    x4    x5    x6    x7    x8    x9   x10 
0.359 0.642 0.101 0.056 0.647 0.016 0.707 0.019 0.360 0.711 

Loadings:
    Factor1 Factor2 Factor3
x1   0.514           0.614 
x2   0.380           0.462 
x3   0.610           0.726 
x4   0.743          -0.626 
x5  -0.451           0.387 
x6   0.990                 
x7   0.416          -0.346 
x8           0.990         
x9          -0.800         
x10          0.537         

               Factor1 Factor2 Factor3
SS loadings      2.691   1.910   1.780
Proportion Var   0.269   0.191   0.178
Cumulative Var   0.269   0.460   0.638

Test of the hypothesis that 3 factors are sufficient.
The chi square statistic is 0.32 on 18 degrees of freedom.
The p-value is 1 

# Podemos notar que os 3 fatores explicam juntos 63,8% da variacao total do sistema original

Ajuste da AFE

Analisando as cargas significativas

• \(X_1\) - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 03 - \(h^2\): 0,641 - MSA: 0,85
• \(X_2\) - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 03 - \(h^2\): 0,358 - MSA: 0,93
• \(X_3\) - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 03 - \(h^2\): 0,899 - MSA: 0,56
• \(X_4\) - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 03 - \(h^2\): 0,944 - MSA: 0,46
• \(X_5\) - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 03 - \(h^2\): 0,353 - MSA: 0,93
• \(X_6\) - fator 01 - \(h^2\): 0,984 - MSA: 0,55
• \(X_7\) - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 03 - \(h^2\): 0,293 - MSA: 0,94
• \(X_8\) - fator 02 - \(h^2\): 0,981 - MSA: 0,58
• \(X_9\) - fator 02 - \(h^2\): 0,640 - MSA: 0,60
• \(X_{10}\) - fator 02 - \(h^2\): 0,289 - MSA: 0,79

Vamos em busca de uma solucao melhor: rotacao Varimax()

varimax(fa_telco$loadings)

$loadings

Loadings:
    Factor1 Factor2 Factor3
x1                   0.801 
x2                   0.598 
x3                   0.948 
x4   0.971                 
x5  -0.594                 
x6   0.729           0.673 
x7   0.541                 
x8           0.991         
x9          -0.800         
x10          0.538         

               Factor1 Factor2 Factor3
SS loadings      2.121   1.910   2.350
Proportion Var   0.212   0.191   0.235
Cumulative Var   0.212   0.403   0.638

$rotmat
            [,1]        [,2]        [,3]
[1,]  0.76987948 0.025103554  0.63769538
[2,] -0.01744908 0.999680498 -0.01828749
[3,] -0.63795072 0.002951969  0.77007153

# Note que a proporcao total da variacao explicada pelos 3 fatores nao muda (63,8%). O que muda eh a proporcao da variacao total explicada por cada fator

Rotação Varimax()

Analisando novamente as cargas significativas

• \(X_1\) - fator 03
• \(X_2\) - fator 03
• \(X_3\) - fator 03
• \(X_4\) - fator 01
• \(X_5\) - fator 01
• \(X_6\) - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 03 - \(h^2\): 0,984 - MSA: 0,55
• \(X_7\) - fator 01
• \(X_8\) - fator 02
• \(X_9\) - fator 02
• \(X_{10}\) - fator 02

Segunda tentativa: excluir da analise a variavel \(X_4\) (MSA inadequado)

telco2 <- telco %>% select(-x4)

fa_telco2 <- factanal(
  x        = telco2,
  factors  = n_fatores,
  rotation = "varimax",
  scores   = "none"
)

print(fa_telco2, digits = 3, cut = 0.30) # n = 875: cargas acima de 0,30 sao significativas

Call:
factanal(x = telco2, factors = n_fatores, scores = "none", rotation = "varimax")

Uniquenesses:
   x1    x2    x3    x5    x6    x7    x8    x9   x10 
0.360 0.642 0.101 0.644 0.023 0.702 0.019 0.360 0.711 

Loadings:
    Factor1 Factor2 Factor3
x1   0.800                 
x2   0.598                 
x3   0.948                 
x5                  -0.596 
x6   0.662           0.734 
x7                   0.546 
x8           0.991         
x9          -0.800         
x10          0.537         

               Factor1 Factor2 Factor3
SS loadings      2.335   1.910   1.193
Proportion Var   0.259   0.212   0.133
Cumulative Var   0.259   0.472   0.604

Test of the hypothesis that 3 factors are sufficient.
The chi square statistic is 0.23 on 12 degrees of freedom.
The p-value is 1 

# Podemos notar que os 3 fatores explicam juntos 60,4% da variacao total do sistema original e não resolveu o problema

Terceira tentativa: voltar para a análise a variável \(X_4\) e retirar a variável \(X_6\)

telco3 <- telco %>% select(-x6)

fa_telco3 <- factanal(
  x        = telco3,
  factors  = n_fatores,
  rotation = "none",
  scores   = "Bartlett"
)

print(fa_telco3, digits = 3, cut = 0.30) # n = 875: cargas acima de 0,30 sao significativas

Call:
factanal(x = telco3, factors = n_fatores, scores = "Bartlett",     rotation = "none")

Uniquenesses:
   x1    x2    x3    x4    x5    x7    x8    x9   x10 
0.360 0.643 0.100 0.068 0.642 0.704 0.019 0.360 0.711 

Loadings:
    Factor1 Factor2 Factor3
x1           0.800         
x2           0.598         
x3           0.949         
x4                   0.965 
x5                  -0.598 
x7                   0.544 
x8   0.991                 
x9  -0.800                 
x10  0.537                 

               Factor1 Factor2 Factor3
SS loadings      1.911   1.897   1.586
Proportion Var   0.212   0.211   0.176
Cumulative Var   0.212   0.423   0.599

Test of the hypothesis that 3 factors are sufficient.
The chi square statistic is 0.24 on 12 degrees of freedom.
The p-value is 1 

# Podemos notar que os 3 fatores explicam juntos 59,9% da variacao total do sistema original

Solução final excluindo \(X_6\) da análise

• Fator 01: associado a \(X_8\), \(X_9\) e \(X_{10}\)
  • Interpretação: dimensão relacionada a atendimento / relacionamento com o cliente
• Fator 02: associado a \(X_1\), \(X_2\) e \(X_3\)
  • Interpretação: dimensão de qualidade técnica / infraestrutura (sinal, distribuição, tecnologia)
• Fator 03: associado a \(X_4\), \(X_5\) e \(X_7\)
  • Interpretação: dimensão de plano, informações e justiça tarifária

Solução final excluindo \(X_6\) da análise

loadings_nr <- fa_telco3$loadings |>
unclass() |>
as.data.frame() |>
rownames_to_column("item")

ggplot(loadings_nr, aes(x = Factor1, y = Factor2, label = item)) +
geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed", color = "grey70") +
geom_vline(xintercept = 0, linetype = "dashed", color = "grey70") +
geom_point(size = 3) +
geom_text_repel(size = 5) +
labs(
title = "Mapa das cargas não rotacionadas – Fator 1 × Fator 2",
x = "Factor 1",
y = "Factor 2"
) +
theme_minimal(base_size = 14)

Solução final excluindo \(X_6\) da análise

Pontos a destacar:

• Proporção da variabilidade explicada por cada fator

  • Fator 1: cerca de 21%
  • Fator 2: cerca de 21%
  • Fator 3: cerca de 18%

• Proporção da variabilidade explicada pelo modelo ≈ 0.60:

• A solução de 3 fatores explica aproximadamente 60% da variância total das variáveis padronizadas.

• Para um estudo com itens de questionário (escala de 0 a 10), essa proporção é considerada muito boa.